Question

（1）求证：函数f（x）=x+

a

x

是奇函数；
（2）已知函数g（x）=x+

1

x

在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数；函数g（x）=x+

4

x

在区间（0，2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数；猜想出函数g（x）=x+

b2

x

，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调区间；
（3）指出函数h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）在什么时候取最大值，最大值是多少．

Answer 1

分析：本题考查的是函数的性质问题．在解答时：
（1）先求函数的定义域，结合函数奇偶性的定义即可获得问题的解答；
（2）充分观察已知两函数的形式特点，明确a的位置与单调区间发生变化的联系，即可进行猜测，进而获得答案；
（3）利用（2）的猜测以及（1）中的结论，即可获得函数h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）时单调性的变化情况，进而即可获得问题的解答．

解答：解：（1）函数的定义域为：{x|x≠0}，
任意x∈{x|x≠0}，则f（-x）=-x+

a

-x

=-(x+

a

x

) =-f(x)，
∴函数f（x）=x+

a

x

是奇函数；
（2）∵函数g（x）=x+

1

x

在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数，即：在区间（0，

1

）上是单调减函数，在区间（

1

，+∞）上是单调增函数；
函数g（x）=x+

4

x

在区间（0，2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数，即：在区间（0，

4

）上是单调减函数，在区间（

4

，+∞）上是单调增函数；
∴猜测：函数g（x）=x+

b2

x

，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调减区间为（0，b），单调增区间为（b，+∞）．
（3）由（2）可知，函数h（x）=x+

8

x

，x∈（0，+∞）的单调减区间为（0，2

2

），单调增区间为（2

2

，+∞）．
 又由（1）可知，函数h（x）为奇函数．所以函数h（x）在（-2

2

，0）上为减函数，在（-∞，-2

2

）上为增函数．
∴函数h（x）=x+

8

x

，x∈（-∞，0）在x=-2

2

时取得最大值，最大值为：h_max（x）=-4

2

．

点评：本题考查的是函数的性质问题．在解答的过程当中充分体现了函数奇偶性的知识、归纳猜测的思想以及利用单调性求最值的知识．值得同学们体会和反思．