Question

已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（Ⅰ）若M为CB中点，证明：MA∥平面CNB₁；
（Ⅱ）求这个几何体的体积．

Answer 1

分析：（I）取CB₁的中点P，连MP，由已知中M为CB中点，根据矩形及梯形的性质，我们易得MP∥AN且MP=AN，即四边形ANPM为平行四边形，进而根据平行四边形的性质，得到AM∥NP，再由线面垂直的判定定理，得到答案．
（II）这个几何体的体积由四棱锥N-CBB₁C₁和三棱锥C-ABN组成，由已知中的三视图的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则B点处必有BA，BC，BB₁两两垂直，取B₁B的中点Q，连QN，分别计算出四棱锥N-CBB₁C₁和三棱锥C-ABN的体积，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）证明：取CB₁的中点P，连MP，∵已知M为CB中点，∴MP∥BB₁且MP=

1

2

BB₁
由三视图可知，四边形ABB₁N为直角梯形，∴AN∥BB₁且AN=

1

2

BB₁（2分）
∴MP∥AN且MP=AN，∴四边形ANPM为平行四边形，∴AM∥NP，（4分）
又AM?平面CNB₁，PN?平面CNB₁，∴AM∥平面CNB₁（6分）
（Ⅱ）∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直．
∴BC⊥BA，BC⊥B₁B且BB₁与BA相交于B，
∴BC⊥平面AB₁BN，BC为三棱锥C-ABN的高（8分）
取B₁B的中点Q，连QN，∵四边形ABB₁N为直角梯形且AN=

1

2

BB₁=4，
四边形ABQN为正方形，NQ⊥BB₁，又BC⊥平面ABB₁N，∵QN?平面ABB₁N∴BC⊥NQ，且BC与BB₁相交于B，∴NQ⊥平面C₁B₁BC，NQ为四棱锥N-CBB₁C₁的高（10分）
∴几何体ABC-NB₁C₁的体积V=VC-ABN+VN-CBB1C1=

1

3

CB•S△ABN+

1

3

NQ•SBCC1B1
=

1

3

×4×

1

2

×4×4+

1

3

×4×4×8=

160

3

（12分）

点评：本题主要考查线面平行与垂直关系，及多面体的体积计算等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力和运算求解能力．其中根据已知三视图分析出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键．