Question

．已知函数f(x)＝(x²＋ax－2a²＋3a)e^x(x∈R)，其中a∈R.

(Ⅰ)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；

(Ⅱ)当时，求函数f(x)的单调区间与极值．

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)当a＝0时，f(x)＝x²e^x，f′(x)＝(x²＋2x)e^x，故f′(1)＝3e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e.

(Ⅱ)f′(x)＝[x²＋(a＋2)x－2a²＋4a]e^x.

令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2.

a<，则－2a>a－2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，－2a)	－2a	(－2a，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	极大值	?	极小值	?

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)内是增函数，在(a－2，－2a)内是减函数．

函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)e^a－2.

函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae^－2a.

 

【解析】略