Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且csinB=$\sqrt{3}$bcosC=3．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为9$\sqrt{3}$，求边c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得tanC=$\sqrt{3}$，结合范围C∈（0，π），即可解得C的值．
（2）由已知及三角形面积公式可求a，由（1）得b的值，由余弦定理可求c的值．

解答 解：（1）由csinB=$\sqrt{3}$bcosC，得
sinCsinB=$\sqrt{3}$sinBcosC即sinC=$\sqrt{3}$cosC，（3分）
∴tanC=$\sqrt{3}$，
因为在△ABC中，C∈（0，π），
所以 C=$\frac{π}{3}$．（6分）
（2）由S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{3}{2}a$=9$\sqrt{3}$，得a=6$\sqrt{3}$，（8分）
由（1）C=$\frac{π}{3}$   得$\sqrt{3}$bcos$\frac{π}{3}$=3，b=2$\sqrt{3}$，（10分）
由c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2abcosC}$
得c=$\sqrt{108+12-2×6\sqrt{3}×2\sqrt{3}cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{84}$=2$\sqrt{21}$．  （12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，属于中档题．