Question

(2007湖北部分重点中学模拟)如下图所示，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．

(1)求证：BM∥平面PAD；

(2)在侧面PAD内找一点N，使MN⊥平面PBD；

(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)∵M是PC的中点，取PD的中点E，则，又， ∴四边形ABME为平行四边形， ∴BM∥EA，BM平面PAD，EA平面PAD， ∴BM∥平面PAD． (2)以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图，则B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，M(1，1，1)，E(0，1，1)． 在平面PAD内设N(0，y，z)，=(－1，y－1，z－1)，=(1，0，－2)，=(1，－2，0)， 由，∴，∴， 由，∴，∴，∴， ∴N是AE的中点，此时MN⊥平面PBD， (3)设直线PC与平面PBD所成的角为θ，=(2，2，－2)，， 设为α．， ，故直线PC与平面PBD所成角的正弦为．