Question

已知常数a＞0，函数g（x）=

x

x+1

，h（x）=

1

x+a

，且f（x）=g（x）•h（x）．
（1）若a=1，并设函数f（x）的定义域是[1，2]，求函数f（x）的值域；
（2）对于给定的常数a，是否存在实数t，使得g（t）=h（t）成立？若存在，求出这样的所有的t的值，若不存在，说明理由．
（3）若a＞1，问是否存在常数a的值，使函数f（x）的定义域是[1，a]，值域为[

1

2(a+1)

，

1

a2

]？若存在，求出这样a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=

x

(1+x)

×

1

x+1

=

1

x+ 1 x +2

，运用对钩函数的单调性，不等式的性质求解．
（2）化简得出：t²+（a-1）t-1=0
△=（a-1）²+4＞0，恒成立，判断即可．
（3））f（x）=

x

(x+a)(x+1)

=

1

x+ a x +a+1

，求出最小值f（x）_min=f（

a

）=

1

2 a +a+1

，
运用值域为[

1

2(a+1)

，

1

a2

]求出a，判断符合题意与否即可，判断存在不存在．

解答： 解：常数a＞0，函数g（x）=

x

x+1

，h（x）=

1

x+a

，且f（x）=g（x）•h（x）．
（1）a=1，f（x）=

x

(1+x)

×

1

x+1

=

1

x+ 1 x +2

，
∵函数f（x）的定义域是[1，2]，
∴4≤x+

1

x

+2≤

9

2

，
∴

2

9

≤

1

x+ 1 x +2

≤

1

4

，
故值域为：[

2

9

，

1

4

]
（2）g（x）=

x

x+1

，h（x）=

1

x+a

，
∵g（t）=h（t），
∴

t

t+1

=

1

t+a

，
化简得出：t²+（a-1）t-1=0
△=（a-1）²+4＞0，恒成立，故存在实数t满足条件t=

1-a± (a-1)2+4

2

，
（3）f（x）=

x

(x+a)(x+1)

=

1

x+ a x +a+1

，
∵a＞1，∴

a

＞1，

a

＜a，成立，
∴f（x）_min=f（

a

）=

1

2 a +a+1

，
∵值域为[

1

2(a+1)

，

1

a2

]，
∴

1

2 a +a+1

=

1

2(a+1)

，解得a=1，与a＞1矛盾
∴不符合题意，
∴不存在这样的实数a．

点评：本题考查了函数的性质，方程，不等式的运用，属于综合题，难度度较大，仔细化简运算．