Question

19．已知函数f（x）=2x³-1（x∈R）．
（1）证明：函数f（x）在（0.5，1）内有一个零点；
（2）求出f（x）在区间（0.5，1）内零点的近似解．（精确到0.1）

Answer 1

分析 函数f（x）=2x³-1在区间[0.5，1]上连续，从而利用判定定理判断；再利用二分法求值

解答 解：（1）函数f（x）=2x³-1在区间[0.5，1]上连续，
且f（1）=2-1=1＞0，f（0.5）=$\frac{1}{4}$-1＜0；
函数f（x）在（0.5，1）内有一个零点；
（2）由（1）知f（0.5）＜0，又f（1）＞0，所以方程2x³-1=0在（0.5，1）内有实数根．
如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：

（a，b）	（a，b） 的中点	f（a）	f（b）
（0.5，1）	0.75	f（0.5）＜0	f（1）＞0	f（0.75）＜0
（0.75，1）	0.875	f（0.75）＜0	f（1）＞0	f（0.875）＞0
（0.75，0.875）	0.8125	f（0.75）＜0	f（0.875）＞0	f（0.8125）＞0

因为|0.8125-0.75|=0.0625＜0.1，所以方程2x³-1=0的一个近似解可取为0.75．

点评 本题考查了函数的零点判定定理的应用及二分法的应用，属于基础题．