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    某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为30cm，② 三根细钢管相交处的节点O与凳面三角形ABC重心的连线垂直于凳面和地面.

       （1）若凳面是边长为的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到）；

       （2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为，节点分细钢管上下两段之比为. 确定三根细钢管的长度（精确到）.

    解：（1）设△的重心为，连结.

      

        由题意可得，.

    设细钢管上下两段之比为.

        已知凳子高度为. 则.  

    * 节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.

     就是与平面所成的角，亦即.

        ，    

        解得，.             

        即节点分细钢管上下两段的比值约为.

    （2）设，.

         设△的重心为，则，

         由节点分细钢管上下两段之比为，可知.             

         设过点的细钢管分别为，

         则 ，

            ，                

    *对应于A、B、C三点的三根细钢管长度分别为60.8cm，36.1cm和60.8cm.

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    （1）若凳面是边长为20cm的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为45°，确定节点O分细钢管上下两段的比值（精确到0.01）；
    （2）若凳面是顶角为120°的等腰三角形，腰长为24cm，节点O分细钢管上下两段之比为2：3、确定三根细钢管的长度（精确到0.1cm）．

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    （2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为，节点分细钢管上下两段之比为. 确定三根细钢管的长度.

     

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