Question

已知x≥0，y≥0，x+3y=9，则x²y的最大值为

 

．

Answer 1

分析：由x+3y=9得到y=3-

x

3

，代入x²y=3x²-

x3

3

，又由x≥0，y≥0，及y=3-

x

3

得到0≤x≤9问题变为函数在闭区间上的最值问题．

解答：解：由x+3y=9得到y=3-

x

3

，
又由x≥0，y≥0，及y=3-

x

3

得到0≤x≤9
∴m=x²y=3x²-

x3

3

，0≤x≤9
∵m'=6x-x²，令m'=6x-x²=0得x=0或x=6
∴m=x²y=3x²-

x3

3

在[0，6]上是增函数，在[6，9]是减函数，
∴x=6时m取到最大值36
故应填36．

点评：本题考查灵活转化的能力以及用导数法求最值的技能，知识性与技能性较强．