Question

14．已知直线l_k：y=kx+k²（k∈R），下列说法中正确的是①③④．（注：把你认为所有正确选项的序号均填上）
①l_k与抛物线$y=-\frac{x^2}{4}$均相切；      
②l_k与圆x²+（y+1）²=1均无交点；
③存在直线l，使得l与l_k均不相交；   
④对任意的i，j∈R，直线l_i，l_j相交．

Answer 1

分析 根据已知中直线l_k：y=kx+k²（k∈R），逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{x}^{2}}{4}\\{y=kx+k}^{2}\end{array}\right.$得：$\frac{{x}^{2}}{4}+kx+{k}^{2}=0$，
由△=0恒成立，可得方程组恒有一解，
即l_k与抛物线$y=-\frac{x^2}{4}$均相切，故①正确；
圆x²+（y+1）²=1的圆心（0，-1）到直线l_k：y=kx+k²的距离d=$\frac{1+{k}^{2}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$≥1恒成立，
当且仅当k=0时，l_k与圆x²+（y+1）²=1相切，故②错误；
存在直线l：y=x+1，y=-x+1，y=0，与直线l_k：y=kx+k²（k∈R）均不相交，故③正确；
对任意的i，j∈R，直线l_i，l_j的斜率不相等，两直线必相交，故④正确；
故答案为：①③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系等知识点，难度中档．