Question

对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意的（）都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期。例如当时是周期为的周期数列，当时是周期为的周期数列。

       （1）设数列满足（），（不同时为0），且数列是周期为的周期数列，求常数的值；

       （2）设数列的前项和为，且．

①若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

②若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由；

       （3）设数列满足（），，，，数列 的前项和为，试问是否存在，使对任意的都有成立，若存在，求出的取值范围；不存在，    说明理由；

Answer 1

解：（1）由数列是周期为的周期数列，

且，即， …………4分

（2）当时，，又得．……………………………5分

当时，，

即或．……………………………6分

①由有，则为等差数列，即，

由于对任意的都有，所以不是周期数列……………………………8分

②由有，数列为等比数列，即，

即对任意都成立，

即当时是周期为2的周期数列。…………………………10分

（3）假设存在，满足题设。

于是又则

所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为，……………………12分

则，               ………………14分

当时，

当时，

当时，

综上，                             ……………16分

为使恒成立，只要，即可，

综上，假设存在，满足题设，，。………………18分