Question

  已知f(x)=e^x-ax-1.

（1）求f(x)的单调增区间；

（2）若f(x）在定义域R内单调递增，求a的取值范围；

（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）（lna，+∞）（2）a≤0（3）a=1

解析:

  f′(x)= e ^x-a.

(1)若a≤0，f′(x)= e^x-a≥0恒成立，即f(x)在R上递增.

若a＞0, e^x-a≥0,∴e^x≥a,x≥lna.

∴f(x)的递增区间为（lna，+∞）.

（2）∵f（x）在R内单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立.

∴e^x-a≥0，即a≤e^x在R上恒成立.

∴a≤（e^x）_min，又∵e^x＞0,∴a≤0.

（3）方法一  由题意知e^x-a≤0在（-∞，0］上恒成立.

∴a≥e^x在（-∞，0］上恒成立.

∵e^x在（-∞，0］上为增函数.

∴x=0时，e^x最大为1.∴a≥1.

同理可知e^x-a≥0在［0，+∞）上恒成立.

∴a≤e^x在［0，+∞）上恒成立.

∴a≤1，∴a=1.

方法二  由题意知，x=0为f(x)的极小值点.

∴f′(0)=0,即e⁰-a=0,∴a=1.