Question

13．已知函数$f（x）=\frac{（cosx-sinx）•sin2x}{cosx}$．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）当$x∈（-\frac{π}{2}，0]$时，求函数f（x）的最值；
（3）求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由cosx≠0，有求出f（x）的定义域，由$f（x）=\frac{（cosx-sinx）•2sinx•cosx}{cosx}$=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，能求出f（x）的最小正周期．
（2）由$-\frac{π}{2}＜x≤0$，得$-\frac{3π}{4}＜2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$，由此能求出函数f（x）的最值．
（3）由$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，能求出f（x）的单调递减区间．

解答 解：（1）∵函数$f（x）=\frac{（cosx-sinx）•sin2x}{cosx}$，
∴由cosx≠0，得$x≠kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴定义域为$\{x|x≠kπ+\frac{π}{2}，k∈Z\}$．（2分）
$f（x）=\frac{（cosx-sinx）•2sinx•cosx}{cosx}$
=2sinxcosx-2sin²x
=sin2x-（1-cos2x）
=$\sqrt{2}sin（2x+\frac{π}{4}）-1$，（3分）
∴f（x）的最小正周期为π．（4分）
（2）∵$-\frac{π}{2}＜x≤0$，
∴$-\frac{3π}{4}＜2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{4}$（5分）
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$时，即x=0时，f（x）_man=0（7分）
当$2x+\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}$时，即$x=-\frac{3π}{8}$时，$f{（x）_{min}}=-\sqrt{2}-1$（9分）
（3）∵$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
∴$kπ+\frac{π}{8}≤x≤kπ+\frac{5π}{8}$，
又$x≠kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{π}{2}）$，$（kπ+\frac{π}{2}，kπ+\frac{5π}{8}]$．k∈Z．（13分）

点评 本题考查三角函数的定义域及最小正周期、最值、单调递减区间的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．