Question

【题目】如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的大小为，求锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）如图，取的中点，连接.

因为，所以.

由平面侧面，且平面侧面，

得平面. ………………（3分）

又平面，所以，

因为三棱柱是直三棱柱，则底面，

所以

又，从而侧面，又侧面，

故． ………………（6分）

（2）解法一：连接，由（1）可知平面，则是在平面内的射影．

∴即为直线与平面所成的角，则.

在等腰直角中，，且点是中点，

∴，又，，∴．

过点作于点，连接，由（1）知平面，则，又，∴，

∴即为二面角的一个平面角. ………………（9分）

在直角中，，

又，，

∴，

又二面角为锐二面角，∴，

即二面角的大小为． ………………（12分）

解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为， ，轴建立空间直角坐标系.

设，则，，，，，，，.

设平面的一个法向量，由，，得.

令，得，则.

设直线与平面所成的角为，则，

所以，

解得， 即．

又设平面的一个法向量为，同理可得.

设锐二面角的大小为，则，

由，得.

∴锐二面角的大小为． ………………（12分）

【命题意图】本小题主要考查线线垂直，线面垂直，二面角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决立体几何问题的能力．