Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为

2

，D为A₁C₁中点，
（1）求证：BC₁∥平面AB₁D；
（2）求二面角A₁-AB₁-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接A₁B与AB₁交于E，则E为A₁B的中点，D为A₁C₁的中点，根据中位线可知BC₁∥DE，又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，根据线面平行的判定定理可知BC₁∥平面AB₁D；
（2）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB₁，连接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，求出B₁D，在直角三角形AA₁D中，求出AD，即可证得AD=B₁D，则DE⊥AB₁，由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB₁．则∠DEF为二面角A₁-AB₁-D的平面角，根据△B₁FE∽△B₁AA₁，即可求出∠DEF．

解答： 解：（1）连接A₁B与AB₁交于E，则E为A₁B的中点，
∵D为A₁C₁的中点，
∴DE为△A₁BC₁的中位线，
∴BC₁∥DE．
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D
（2）过D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性质可知，DF⊥平面AB₁，
连接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，
∴B₁D=

3

2

A₁B₁=

3

，
在直角三角形AA₁D中，∵AD=

AA12+A1D2

=

3

，
∴AD=B₁D．
∴DE⊥AB₁，
由三垂线定理的逆定理可得EF⊥AB₁．
则∠DEF为二面角A₁-AB₁-D的平面角，又得DF=

3

2

，
∵△B₁FE∽△B₁AA₁，
∴

EF

AA1

=

B1E

A1B1

，则EF=

3

2

，
∴∠DEF=

π

4

．
故所求二面角A₁-AB₁-D的大小为

π

4

．

点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定等有关知识，二面角的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．