Question

设函数常数且a∈（0，1）．
（1）当a=时，求f（f（））；
（2）若x满足f（f（x））=x，但f（x）≠x，则称x为f（x）的二阶周期点，试确定函数有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x₁，x₂；
（3）对于（2）中x₁，x₂，设A（x₁，f（f（x₁））），B（x₂，f（f（x₂））），C（a²，0），记△ABC的面积为s（a），求s（a）在区间[，]上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=时，根据所给的函数解析式直接求值即可得出答案；
（2）根据二阶周期点的定义，分段进行求解，找出符号定义的根即为所求；
（3）由题意，先表示出s（a）的表达式，再借助导数工具研究s（a）在区间[，]上的单调性，确定出最值，即可求解出最值．
解答：解：（1）当a=时，求f（）=，故f（f（））=f（）=2（1-）=
（2）f（f（x））=
当0≤x≤a²时，由=x，解得x=0，因为f（0）=0，故x=0不是函数的二阶周期点；
当a²＜x≤a时，由=x，解得x=
因为f（）==≠，
故x=是函数的二阶周期点；
当a＜x≤a²-a+1时，由=x，解得x=∈（a，a²-a+1），因为f（）=，故得x=不是函数的二阶周期点；
当a²-a+1＜x≤1时，由，解得x=∈（a²-a+1，1），因为f（）=≠，故x=是函数的二阶周期点；
因此函数有两个二阶周期点，x₁=，x₂=
（3）由（2）得A（，），B（，）
则s（a）=S_△OCB-S_△OCA=×，所以s′（a）=×，
因为a∈（），有a²+a＜1，所以s′（a）=×=＞0（或令g（a）=a³-2a²-2a+2利用导数证明其符号为正亦可）
s（a）在区间[，]上是增函数，
故s（a）在区间[，]上的最小值为s（）=，最大值为s（）=
点评：本题考查求函数的值，新定义的理解，利用导数求函数在闭区间上的最值，第二题解答的关键是理解定义，第三题的关键是熟练掌握导数工具判断函数的单调性，本题考查了方程的思想，转化化归的思想及符号运算的能力，难度较大，综合性强，解答时要严谨认真方可避免会而作不对现象的出现．