Question

已知圆C方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线l的方程；
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量

OQ

=

OM

+

ON

，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分类讨论：①当直线l垂直于x轴时；②若直线l不垂直于x轴．对于②，设其方程为y-2=k（x-1），结合直线与圆的位置关系利用弦长公式即可求得k值，从而解决问题．
（Ⅱ）设点M的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），Q点坐标为（x，y），利用向量的坐标运算表示出M的坐标，再利用M点在圆上其坐标适合方程即可求得动点Q的轨迹方程，最后利用方程的形式进行判断是什么曲线即可．

解答：解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时，
则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为(1，

3

)和(1，-

3

)，
其距离为2

3

满足题意（1分）
②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0
设圆心到此直线的距离为d，则2

3

=2

4-d2

，得d=1（3分）
∴1=

|-k+2|

k2+1

，k=

3

4

，
故所求直线方程为3x-4y+5=0
综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1（7分）

（Ⅱ）设点M的坐标为（x₀，y₀）（y₀≠0），Q点坐标为（x，y）
则N点坐标是（0，y₀）（9分）
∵

OQ

=

OM

+

ON

，
∴（x，y）=（x₀，2y₀）即x₀=x，y0=

y

2

（11分）
又∵x₀²+y₀²=4，∴x2+

y2

4

=4(y≠0)
∴Q点的轨迹方程是

x2

4

+

y2

16

=1(y≠0)，（13分）
轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆，除去长轴端点．（14分）

点评：本小题主要考查直线的一般式方程、直线和圆的方程的应用、轨迹方程的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．