Question

如图：直线y=x与抛物线y=x²-4交于A、B两点，直线l与直线y=x和y=-5分别交于M、Q，且=0，=。

（1）求点Q的坐标；
（2）当点P为抛物线上且位于线段AB下方（含点A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值。

Answer 1

解：（1）联立
解得或
即A（-4，-2），B（8，4）
∵
∴QM⊥AB
又
∴M是AB的中点，即M（2，1）
∴l是线段AB的垂直平分线
又k_AB=
∴l的方程为y-1=-2（x-2），
即2x+y-5=0，令y=-5，得x=5，
∴Q=（5，-5）。
（2）直线OQ的方程为：x+y=0
由题意可设P，-4≤x≤8，且O、P、Q不共线
则点P到直线OQ的距离为：

又
∴
其中x∈[-4，8]，且O、P、Q不共线，
令f（x）=（x+4）²-48，
则当x∈[-4，8]时，函数f（x）单调递增
又当x=-4时，|x²+8x-32|=48，
当x=8时，|x²+8x-32|=96
∴当x=8时，（S_△QPO）_max=×96=30。