Question

6．已知函数f（x）=lnx-ax，其中a＞0．
（1）当a=1时，求f（x）在[1，e]上的最大值；
（2）若1≤x≤e时，函数f（x）的最大值为-4，求函数f（x）的表达式．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入，求出函数f（x）的导数，从而求出函数的单调区间和最值；
（2）通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及f（x）_max=-4，从而求出a的值，进而求出函数的表达式．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$-a=$\frac{1-ax}{x}$，（a＞0，x＞0）
（1）当a=1时，f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
∴x∈[1，e]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，e]上单调递减，最大值为f（1）=-1．
（2）∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递减．
①当0＜$\frac{1}{a}$＜1，即a＞1时，f（x）_max=f（1）=-4，解得a=4符合题意；
②当1≤$\frac{1}{a}$≤e，即$\frac{1}{e}$≤a≤1时，f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-4，解得：a=e³＞1（舍去）；
③当$\frac{1}{a}$＞e，即0＜a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）_max=f（e）=-4，解得：a=$\frac{5}{e}$＞$\frac{1}{e}$（舍去）．
综上，f（x）=lnx-4x．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．