Question

  设曲线Ｃ：的离心率为，右准线与两渐近线交于Ｐ，Ｑ两点，其右焦点为Ｆ，且△PQF为等边三角形。

 （1）求双曲线C的离心率；

 （2）若双曲线C被直线截得弦长为，求双曲线方程；

   （3）设双曲线C经过，以F为左焦点，为左准线的椭圆的短轴端点为B，求BF 中点的轨迹N方程。

Answer 1

（1）2

（2）或

（3）（或）

解析:

⑴如图：易得P                           

设右准线与轴的交点为M，

∵△PQF为等边三角形

∴|MF|=|PM|                                   

∴

化简得：                                       

∴

∴            

 ⑵ 由⑴知：

∴双曲线方程可化为：，即   

联列方程：

消去得：

由题意：    （*）                           

设两交点A，B

则

∴|AB|==

化简得：，即

解得：或，均满足（*）式              

∴  或

∴所求双曲线方程为：或   

  ⑶由⑴知双曲线C可设为：

∵其过点A      ∴

∴双曲线C为：                          

∴其右焦点F，右准线：

设BF的中点N，则B                

由椭圆定义得：（其中为点B到的距离）

∴

化简得：

∵点B是椭圆的短轴端点，故

∴BF的中点的轨迹方程是：（或）