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把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.
(1)记A为“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
只有一组解”求A的概率;
(2)设f(x)=ax+
x
x-1
(x>1)
.求事件f(x)>b恒成立的概率.
分析:(1)方程组解的个数即为直线ax+by=5与圆x2+y2=1的交点个数,求出直线与圆交点个数,即可求出所求概率;
(2)f(x)解析式变形后,利用基本不等式化简,可得出f(x)>b恒成立转化为(
a
+1)2>b恒成立,确定出发生的情况数,即可求出所求概率.
解答:解:(1)依题意知方程组
ax+by=5
x2+y2=1
的解的个数,就是直线ax+by=5与圆x2+y2=1的交点个数,
设圆心O(0,0)到直线ax+by=5的距离为d,则d=
5
a2+b2

∵圆的半径为1,
∴当d=1,即a2+b2=25,直线与圆相切,此时方程组只有一组解;
∵a,b∈{1,2,3,4,5,6},
a=3
b=4
,或
a=4
b=3
时,a2+b2=25,投掷两次段子a、b的所有情况共有6×6=36种,
则方程组只有一解的概率为P(A)=
2
36
=
1
18

(2)∵f(x)=ax+
x-1+1
x-1
=ax+
1
x-1
+1=a(x-1)+
1
x-1
+1-a≥2
a
+1+a=(
a
+1)2(其中a>1>0),
∴f(x)>b恒成立转化为(
a
+1)2>b恒成立,
∴当a=1时,b=1,2,3;当a=2时,b=1,2,3,4,5;且a≥3时,(
a
+1)2>6,则b均可取到6个值,
则P(B)=
3+5+4×6
36
=
32
36
=
8
9
点评:此题考查了直线与圆的位置关系,以及列举法计算基本事件及事件发生的概率,弄清题意是解本题的关键.
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科目:高中数学 来源: 题型:

把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b.设事件A“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
只有一组解”,则事件A发生的概率等于(  )
A、
1
3
B、
1
9
C、
1
18
D、
1
36

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科目:高中数学 来源: 题型:

把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.
(Ⅰ)记事件A为“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
只有一组解”,求事件A的概率;
(Ⅱ)记事件B为“方程组
ax+by=5
x2+y2=1
有解”,求事件B的概率.

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科目:高中数学 来源:2010-2011学年四川省绵阳市南山中学高二(下)期中数学试卷(解析版) 题型:选择题

把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b.设事件A“方程组只有一组解”,则事件A发生的概率等于( )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中数学 来源:2010年甘肃省兰州市高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

把一枚骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b.设事件A“方程组只有一组解”,则事件A发生的概率等于( )
A.
B.
C.
D.

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