Question

9．若函数f（x）=x²-a|x-1|在[0，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 f（x）=x²+a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a，x≥1}\\{{x}^{2}-ax+a，x＜1}\end{array}\right.$，结合题意可得函数y=x²+ax-a在[1，+∞）单调递增，y=x²-ax+a在[0，1）单调递增，故有 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤1}\\{\frac{a}{2}≤0}\\{1-a+a≤1+a-a}\end{array}\right.$，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=x²+a|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a，x≥1}\\{{x}^{2}-ax+a，x＜1}\end{array}\right.$，
∴要使f（x）在[0，+∞）上单调递增，需函数y=x²+ax-a在[1，+∞）单调递增，
且y=x²-ax+a在[0，1）单调递增，故有 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤1}\\{\frac{a}{2}≤0}\\{1-a+a≤1+a-a}\end{array}\right.$，
求得-2≤a≤0，∴实数a的取值范围是[-2，0]，
故答案为：[-2，0]．

点评 本题主要考查含绝对值函数的单调性，二次函数的单调性及单调区间，属于中档题．