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经过点F(0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M.点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD(两端点除外)上的任意一点作直线,使直线与轨迹M在点D处的切线平行,设直线与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.
【答案】分析:(1)设动圆圆心为(x,y),由直线与圆相切可得=|y+1|,整理即得轨迹M的方程;
(2)由题意,要证∠BAD=∠CAD,可证kAC=-kAB,设点D(),则得,设点C(x1),B(x2),则=,化简可得①,由①及斜率公式可得kAC+kAB=0,从而得证;
(3)由点D到AB的距离等于|AD|,可知∠BAD=45°,不妨设点C在AD上方,即x2<x1,直线AB的方程为:y-=-(x+x),与抛物线方程联立可得点B的坐标,从而可用x表示|AB|,同理可表示出|AC|,根据三角形面积为20可解得x,然后代入求出相应点的坐标,进而可得所求直线方程;
解答:解:(1)设动圆圆心为(x,y),依题意得,=|y+1|,整理,得x2=4y.
所以轨迹M的方程为x2=4y.
(2)由(1)得x2=4y,即y=,则
设点D(),由导数的几何意义知,直线的斜率为
由题意知点A(-x).设点C(x1),B(x2),
==,即x1+x2=2x
因为kAC==,kAB==
由于kAC+kAB=+==0,即kAC=-kAB
所以∠BAD=∠CAD;
(3)由点D到AB的距离等于|AD|,可知∠BAD=45°,
不妨设点C在AD上方,即x2<x1,直线AB的方程为:y-=-(x+x).
,解得点B的坐标为(x-4,),
所以|AB|=|(x-4)-(-x)|=2|x-2|.
由(2)知∠BAD=∠CAD=45°,同理可得|AC|=2|x+2|,
所以△ABC的面积S==4|-4|=20,解得x=±3,
当x=3时,点B的坐标为(-1,),
直线BC的方程为y-(x+1),即6x-4y+7=0;
当x=-3时,点B的坐标为(-7,),
直线BC的方程为y-=-(x+7),即6x+4y-7=0.
点评:本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力等.
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(2013•广州二模)经过点F (0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于
2
2
|AD|
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.

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(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于
2
2
|AD|
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.

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科目:高中数学 来源:2013年广东省广州市高考数学二模试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

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(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.

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科目:高中数学 来源:2013年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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