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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    设f（x）是定于在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≤2，则关于函数f（x）有：
    （1）对任意x∈（0，1），都有f（x）＞f（1-x）；
    （2）对任意x∈（0，1），都有f（x）=f（1-x）；
    （3）对任意x∈（0，1），恒有f′（x）=0；
    （4）当x∈（0，1），函数y=
    f(x)
    x
    +x为减函数．
    上述四个命题中正确的有
    （2）（3）
    （2）（3）
    ．
    分析：观察四个命题（1）（2）两个不能同时成立，对于命题（1）（2）可采取令x1=x，x2=1-x，利用基本不等式证明；
    （3）证明函数f（x）为常数即可．（4）利用（3）的结论证明（4）．
    解答：解：因为对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0，
    所以令x1=x，x2=1-x，则
    f(x)
    f(1-x)
    +
    f(1-x)
    f(x)
    ≥2
    f(x)
    f(1-x)
    ?
    f(1-x)
    f(x)
    =2    ，
    由②知
    f(x)
    f(1-x)
    +
    f(1-x)
    f(x)
    ≤2    ，所以必有
    f(x)
    f(1-x)
    +
    f(1-x)
    f(x)
    =2    ，当且仅当
    f(x)
    f(1-x)
    =
    f(1-x)
    f(x)
    =1    ，即f（x）=f（1-x）时取等号，所以（1）错误，（2）正确．
    （3）将②中的变量x1，x2，交换位置得
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    ≤2    ，③，将②③相加得
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(x1)
    f(x2)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≤4    ，
    因为
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(x 1)
    f(x2)
    ≥2
    f(x2)
    f(x1)
    ?
    f(x 1)
    f(x2)
    =2    ，
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≥2
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    ?
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    =2    ，
    所以
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(x 1)
    f(x2)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    ≥4    ，所以
    f(x2)
    f(x1)
    +
    f(x 1)
    f(x2)
    +
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    +
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    =4    ，
    当且仅当，
    f(x2)
    f(x1)
    =
    f(x 1)
    f(x2)
    =1，
    f(1-x2)
    f(1-x1)
    =
    f(1-x1)
    f(1-x2)
    =1    ，取等号，所以f（x1）=f（x2），即对任意的变量x1，x2，都有所以f（x1）=f（x2），
    所以f（x）为常数，所以f'（x）=0，所以（3）成立．
    （4）因为f（x）为常数，所以设f（x）=c＞0，
    所以y=
    f(x)
    x
    +x=
    c
    x
    +x    ，函数的导数为y'=1-
    c
    x2
    ，当x＞0时，由y'＜0得，0＜x＜
    		c
    ，所以函数在（0，
    		c
    ）上单调递减，所以当c＜1时，函数y=
    f(x)
    x
    +x为减函数不一定正确．
    故正确的是（2）（3）．
    点评：本题考点是抽象函数及其应用，解决本题的关键是构造出可以利用基本不等式求最值的形式，利用等号成立的条件找到命题正确判断的依据，综合性较强，难度较大．
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