Question

8．已知定义在R上的二次函数f（x）的图象过原点，且满足f（x+1）-f（x）=2x+2，函数g（x）=a^x（a＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设h（x）=-f（x）+bx，当a=2时，若对任意x∈[1，2]，都存在x₁，x₂∈[1，2]，使得h（x）≤h（x₁），g（x）≤g（x₂），且h（x₁）=g（x₂），求实数b的值；
（3）若关于x的方程f（x）=g（2x）恰有一实数解x₀，且x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设f（x）=mx²+nx+p（m≠0），由题意求出m，n，p值，可得f（x）的解析式；
（2）由题意得：x∈[1，2]时，函数h（x）和g（x）的最大值相等，结合二次函数的图象和性质，分类讨论满足条件的b值，可得答案；
（3）方程f（x）=g（2x）恰有一实数解x₀，则函数f（x）与函数g（2x）的图象恰有一个交点，且交点的横坐标x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），则$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2×\frac{1}{4}}＞f（\frac{1}{4}）=\frac{5}{16}\\{a}^{2×\frac{1}{2}}＜f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}\end{array}\right.$，解得答案．

解答 解：（1）设f（x）=mx²+nx+p（m≠0），
由题意可知，f（0）=0，解得，p=0，
由f（x+1）-f（x）=2x+2可知，[m（x+1）²+n（x+1）]-（mx²+nx）=2x+2，
化简得，2mx+m+n=2x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}2m=2\\ m+n=2\end{array}\right.$，
∴m=1，n=1．
∴f（x）=x²+x；
（2）当a=2时，g（x）=2^x在x∈[1，2]时为增函数，
若对任意x∈[1，2]，g（x）≤g（x₂），则x₂=2，h（x₁）=g（x₂）=4，
此时h（x）=-f（x）+bx=-x²+（b-1）x的图象是开口朝下，且以直线x=$\frac{b-1}{2}$为对称轴的抛物线，
当$\frac{b-1}{2}≤1$，即b≤3时，h（x）在x∈[1，2]时为减函数，
若对任意x∈[1，2]，h（x）≤h（x₁），则x₁=1，h（x₁）=-1+（b-1）=4，解得：b=6（舍去）；
当$1＜\frac{b-1}{2}＜2$，即3＜b＜5时，h（x）在x∈[1，$\frac{b-1}{2}$]时为增函数，x∈[$\frac{b-1}{2}$，2]时为减函数，
若对任意x∈[1，2]，h（x）≤h（x₁），则x₁=$\frac{b-1}{2}$，h（x₁）=$\frac{（b-1）^{2}}{4}$=4，解得：b=5（舍去），或b=-3（舍去）；
当$\frac{b-1}{2}≥2$，即b≥5时，h（x）在x∈[1，2]时为增函数，
若对任意x∈[1，2]，h（x）≤h（x₁），则x₁=2，h（x₁）=-4+2（b-1）=4，解得：b=5；
综上可得：b=5，
（3）若方程f（x）=g（2x）恰有一实数解x₀，
则函数f（x）与函数g（2x）的图象恰有一个交点，
进而可得交点的横坐标x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{a}^{2×\frac{1}{4}}＞f（\frac{1}{4}）=\frac{5}{16}\\{a}^{2×\frac{1}{2}}＜f（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}\end{array}\right.$
解得：a∈（$\frac{25}{256}$，$\frac{3}{4}$）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．