Question

二面角α-EF-β是直二面角，C∈EF，AC?α，BC?β，∠BCF=45°，∠ACB=60°，则AC与平面β所成的角等于

1. A.
   60°
2. B.
   30°
3. C.
   45°
4. D.
   75°

Answer 1

C
分析：在AC上取一点G，在平面α内过G点作GD⊥EF于D，在平面β内过点D作DH⊥BC于H，连接GH．先利用平面α与平面β互相垂直，证出CD是直线AC在平面β内的射影，得到∠GCD是直线AC与平面β所成的角，再利用直线与平面垂直的判定定理，证出BC⊥平面GDH，从而得到BC⊥GH．设CH=1，分别在Rt△CGH中和Rt△CDH中利用余弦的定义，计算出CG=2，CD=，最后在Rt△GCD中，计算出∠GCD的余弦值为，可得∠GCD=45°，从而AC与平面β所成的角等于45°．
解答：如图，在AC上取一点G，在平面α内过G点作GD⊥EF于D，在平面β内过点D作DH⊥BC于H，连接GH
∵二面角α-EF-β是直二面角，∴α⊥β
∵α∩β=EF，GD?α，GD⊥EF，
∴GD⊥平面β，
∴∠GCD是直线AC与平面β所成的角，
∵BC?平面β，∴BC⊥GD
又∵BC⊥DH，GD∩DH=D，GD、DH?平面GDH
∴BC⊥平面GDH
∵GH?平面GDH，∴BC⊥GH，
Rt△CGH中，∠GCH=60°，设CH=1，则CG==2，
Rt△CDH中，∠DCH=45°，得CD==
∴Rt△GCD中，cos∠GCD=，可得∠GCD=45°
即AC与平面β所成的角等于45°
故选C
点评：本题在两个平面所成角为直角的情况下，已知一个平面内与交线成45度角的直线跟另一平面内过斜足的直线成60度角，通过求直线与平面所成的角，考查了平面与平面垂直的性质和直线与平面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．