Question

已知a＞0，n为正整数． (1) 设y＝(x－a)n证明：＝n(x－a)n－1 (2) 设fn(x)＝xn－(x－a)n，对任意n≥a，证明：n+1(n＋1)＞(n＋1)n(n)

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：因为(x－a)n=(－a)n－kxk，所以=(－a)n－kxk－1=(－a)n－kxk－1=n(x－a)n－1． 　　分析：可以用二项式定理展开，然后逐项求导的方法解决，也可以根据导数的定义进行证明．
(2)	对函数fn(x)=xn－(x－a)n，求导数，得(x)=nxn－1－n(x－a)n－1， 　　所以n(n)=n[nn－1－(n－a)n－1]． 　　当x≥a＞0时，n(x)＞0． 　　所以当x≥a时，fn(x)=xn－(x－a)n是关于x的增函数． 　　因此，当n≥a时，(n＋1)n－(n＋1－a)n＞nn－(n－a)n． 　　所以n+1(n＋1)=(n＋1)[(n＋1)n－(n＋1－a)n]＞(n＋1)[nn－(n－a)n]＞(n＋1)[nn－n(n－a)n－1]=(n十1)(n)． 　　即对任意n≥a，－1(n＋1)＞(n＋1)(n)． 　　点评：本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所学知识解决问题的能力，第二问学生易犯的错误是直接对数列fn(n)求导，不符合导数的定义．