Question

已知圆C₁：（x+1）²+y²=8，点C₂（1，0），点Q在圆C₁上运动，QC₂的垂直平分线交QC₁于点P．
（Ⅰ） 求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ） 设M，N是曲线W上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若

OM

+2

ON

=2

OC1

，O为坐标原点，求直线MN的斜率k；
（Ⅲ）过点S(0，-

1

3

)且斜率为k的动直线l交曲线W于A，B两点，在y轴上是否存在定点D，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出D的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）由QC₂的垂直平分线交QC₁于P，知|PQ|=|PC₂|，动点P的轨迹是点C₁，C₂为焦点的椭圆．由此能够求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设M（a₁，b₁），N（a₂，b₂），则a₁²+2b₁²=2，a₂²+2b₂²=2．由

OM

+2

ON

=2

OC1

，a₁+2a₂=-2，b₁+2b₂=0，由此能求出直线MN的斜率．
（Ⅲ）直线l的方程为y=kx-

1

3

，联立直线和椭圆方程，得

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，整理得（1+2k²）x²-12kx-16=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 x1+x2=

4k

3(1+2k2)

，x1x2=-

16

9(1+2k2)

，假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，

DA

•

DB

=x1x2-(y1-m)(y2-m) =0，由此能够求出D点坐标．

解答：解（1）∵QC₂的垂直平分线交QC₁于P，
∴|PQ|=|PC₂|，
|PC₂|+|PC₁|=|PC₁|+|PQ|=|QC₁|=2

2

＞|C₁C₂|=2，
∴动点P的轨迹是点C₁，C₂为焦点的椭圆．
设这个椭圆的标准方程是

x2

a2

+

y 2

b2

=1，
∵2a=2

2

，2c=2，∴b²=1，
∴椭圆的标准方程是

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）设M（a₁，b₁），N（a₂，b₂），
则a₁²+2b₁²=2，a₂²+2b₂²=2．
∵

OM

+2

ON

=2

OC1

，
则a₁+2a₂=-2，b₁+2b₂=0，
∴a1=

1

2

，b1=

14

4

，a2=-

5

4

，b2=-

14

8

，
∴直线MN的斜率为

b2-b1

a2-a1

=

3 14

14

．
（Ⅲ）直线l的方程为y=kx-

1

3

，联立直线和椭圆方程，得

y=kx- 1 3 x2 2 +y2=1

，∴9（1+2k²）x²-12kx-16=0，
由题意知，点S（0，-

1

3

）在直线上，动直线l交曲线W于A、B两点，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则 x1+x2=

4k

3(1+2k2)

，x1x2=-

16

9(1+2k2)

，
假设在y轴上存在定点D（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，
则

DA

= (x1，y1-m)  ，

DB

=(x2，y2-m)，

DA

•

DB

=x1x2+(y1-m)(y2-m) =0，
∵y1=kx1-

1

3

，y2=kx2-

1

3

，
∴x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²
=(k2-1) x1x2-k(

1

3

-m) (x1-x2) -m2 +

2

3

m+

1

9

=-

16(k2-1)

9(2k2+1)

-k(

1

3

-m) 

4k

3(2k2+1)

-m2+

2

3

m+

1

9

=

18(m2-1)k2+(9m2+6m-15)

9(2k2+1)

=0．
∴

m2-1=0 9m2+6m-15=0

，∴m=1，
所以，在y轴上存在满足条件的定点D，点D的坐标为（0，1）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．