Question

7．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AE}$=2$\overrightarrow{EB}$，$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FC}$，连结BF，CE相交于点M，且$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AE}$+y$\overrightarrow{AF}$，则x-y等于$-\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由E，M，C三点共线可得到$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EC}$，进一步得到$\overrightarrow{AM}=（1-λ）\overrightarrow{AE}+\frac{4}{3}λ\overrightarrow{AF}$，而同理可根据B，M，F三点共线可得到$\overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}μ\overrightarrow{AE}+（1-μ）\overrightarrow{AF}$．从而由平面向量基本定理得到$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{3}{2}μ}\\{\frac{4}{3}λ=1-μ}\end{array}\right.$，解出λ，μ，便可求出x，y，从而得出x-y的值．

解答 解：E，M，C三点共线；
∴$\overrightarrow{EM}=λ\overrightarrow{EC}$；
∴$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AE}=λ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AE}）$；
∴$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AC}+（1-λ）\overrightarrow{AE}$=$（1-λ）\overrightarrow{AE}+\frac{4}{3}λ\overrightarrow{AF}$；
同理，根据B，M，F三点共线可得到：$\overrightarrow{AM}=μ\overrightarrow{AB}+（1-μ）\overrightarrow{AF}=\frac{3}{2}μ\overrightarrow{AE}+$$（1-μ）\overrightarrow{AF}$；
∴根据平面向量基本定理得：$\left\{\begin{array}{l}{1-λ=\frac{3}{2}μ}\\{\frac{4}{3}λ=1-μ}\end{array}\right.$；
解$λ=\frac{1}{2}，μ=\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AE}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AF}$；
∴$x=\frac{1}{2}，y=\frac{2}{3}$；
∴$x-y=-\frac{1}{6}$．
故答案为：$-\frac{1}{6}$．

点评 考查共线向量基本定理，及平面向量基本定理，向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算．