Question

如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2

2

，AD=2，四边形ABCD绕AD旋转一周所成一个几何体，
（1）画出几何体的直观图，
（2）求几何体的体积，
（3）求几何体的表面积．

Answer 1

分析：（1）旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，由此可得几何体的直观图
（2）根据题目所给数据，求出圆台的体积和圆锥的体积，相减后可得答案．
（3）根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．

解答：解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的几何体，如下图所示：

（2）∵∠ADC=135°，AB=5，CD=2

2

，AD=2，
∴圆台的下底面半径为5，上底面半径为2，高为4
圆锥的底面半径为2，高为2
则S_{圆台下底面}=π×5²=25π
S_{圆台上底面}=π×2²=4π
则圆台的体积V=

1

3

•（25π+10π+4π）•4=

156π

3

圆锥的体积V=

1

3

•4π•2=

8π

3

故几何体的体积V=

156π

3

-

8π

3

=

148π

3

（3）S_表面=S_{圆台下底面}+S_圆台侧面+S_圆锥侧面
=πr₂²+π（r₁+r₂）l₂+πr₁l₁
=π×5²+π×（2+5）×5+π×2×2

2

=25π+35π+4

2

π
=60π+4

2

π

点评：本题是基础题，考查旋转体的表面积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．