Question

设向量，，函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意可得 函数f（x）==（sinx，cosx）•（sinx+cosx，2cosx）=sinx（sinx+cosx ）+2cos²x=1+sin2x+
=+cos（2x+），
故函数的周期等于 =π．
（Ⅱ）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函数的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
（Ⅲ）由于，故2x+∈，故当2x+=-时，函数取得最小值为1，当 2x+=时，函数取得最大值为 ．
分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 +cos（2x+），由此求得它的周期．
（Ⅱ）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的单调增区间．
（Ⅲ）由于，故2x+∈，结合函数图象可得函数的最小值和函数的最大值．
点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，求复合三角函数的增区间，属于中档题．