Question

如图，四面体DABC的体积为，且满足，则线段CD的长度是（ ）

A．
B．2
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设四棱锥D-ABC的高为DA'，结合点到平面的距离垂线段最短，我们可以构造一个不等式，结合基本不等式，我们易判断出AD与平面ABC垂直，并且可以求出BC及AC的长，结合勾股定理即可得到答案．
解答：解：作DA'⊥平面ABC，则AD≥A'D
∴V_D-ABC=•A′D（•AC•BC•sin45°）=≤•AD（•AC•BC•sin45°），即AD•BC•≥1
由基本不等式得AD+BC+≥≥3
当且仅当AD=BC==1时取等号，
而AD+BC+=3，故AD'=AD=1，即AD⊥平面ABC
∴AD⊥AC
∴CD==
故选A．
点评：本题考查直线与平面垂直，考查基本不等式的运用，其中根据已知条件，结合基本不等式判断出AD与平面ABC垂直，是解题的关键．