Question

【题目】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2+bx+c=0实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程x2+bx+c=0有实根的概率；
（2）（理）求ξ的分布列和数学期望 （文）求P（ξ=1）的值
（3）（理）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2+bx+c=0有实根的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：基本事件总数为6×6=36，

若使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，即 ．

当c=1时，b=2，3，4，5，6；

当c=2时，b=3，4，5，6；

当c=3时，b=4，5，6；

当c=4时，b=4，5，6；

当c=5时，b=5，6；

当c=6时，b=5，6，

目标事件个数为5+4+3+3+2+2=19，

因此方程x2+bx+c=0有实根的概率为

（2）解：（理）由题意知，ξ=0，1，2，则 ， ， ，

故ξ的分布列为

	0	1	2
P

ξ的数学期望 ．

（文）

（3）解：记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程ax2+bx+c=0有实根”为事件N，

则 ， ，

【解析】（1）根据题意可得基本事件总数为6×6=36，若使方程有实根，则△=b2﹣4c≥0，即 ，再利用列举的方法求出目标事件个数，进而得到答案．（2）（理）由（1）可得ξ=0，1，2，则 ， ， ，进而得到分布列与数学期望．（文）由（1）可得ξ=1及方程只有一个根情况所包含的基本时间数，进而求出其发生的概率．（3）计算出“先后两次出现的点数中有5”的概率与“先后两次出现的点数中有5并且方程x2+bx+c=0有实根”的概率，进而利用条件概率的公式可得答案．
【考点精析】关于本题考查的离散型随机变量及其分布列，需要了解在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能得出正确答案．