Question

甲、乙、丙三人参加浙江卫视的“我爱记歌词”节目，三人独立闯关，互不影响．其中甲过关而乙不过关的概率是

1

4

，乙过关而丙不过关的概率是

1

12

，甲、丙均过关的概率为

2

9

．记ξ为节目完毕后过关人数和未过关人数之差的绝对值．
（1）求甲、乙、丙三人各自过关的概率；
（2）理科：求ξ的分布列和数学期望；
     文科：求ξ取最小值时的概率；
（3）理科：设“函数f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R”为事件D，试求事件D的概率．
     文科：设“不等式x²-ξx+1＜0对一切x∈[1，2]均成立”为事件D，试求事件D的概率．

Answer 1

分析：（1）设甲、乙、丙三人各自过关分别为事件A、B、C，然后根据相互独立事件的概率乘法公式建立方程组，解之即可；
（2）理科：三人过关的人数可能取值为0，1，2，3，相应地三人未过关的人数可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3，然后根据相互独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，得到概率分布，最后根据数学期望公式解之即可；
文科：三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地三人未过关的人数可能取值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．然后根据相互独立事件的概率乘法公式求出概率进行比较即可；
（3）理科：欲使函数f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R，且ξ≠0，只需ξ＞0且△≥0解之即可；
文科：由不等式x²-ξx+1＜0（x∈[1，2]），将ξ分离根据函数的单调性研究不等式另一侧的最大值，从而求出所求．

解答：解：（1）设甲、乙、丙三人各自过关分别为事件A、B、C
由题设条件有

P(A• B )= 1 4 P(B• C )= 1 12 P(A•C)= 2 9

即

P(A)•(1-P(B))= 1 4      ① P(B)•(1-P(C))= 1 12     ② P(A)•P(C)= 2 9 .                ③

由①、③得P(B)=1-

9

8

P(C)代入②得  27[P（C）]²-51P（C）+22=0．
解得P(C)=

2

3

或

11

9

（舍去）．
将P(C)=

2

3

，分别代入 ③、②可得P(A)=

1

3

，P(B)=

1

4

．
即甲、乙、丙三人各自过关的概率分别是

1

3

，

1

4

，

2

3

．…（6分）
（2）【理科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．…（7分）
P（ξ=3）=P（A•B•C）+P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=P（A）P（B）P（C）+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)=

2

9

ξ	1	3
P	7 9	2 9

P（ξ=1）=1-

2

9

=

7

9

…（8分）
所以ξ的分布列为：
Eξ=1×

7

9

+3×

2

9

=

13

9

（人）…（10分）
【文科】三人过关的人数可能取值为0，1，2，3．相应地，三人未过关的人数可能取
值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3．
因为P（ξ=3）=P（A•B•C）+P（

.

A

•

.

B

•

.

C

），
=P（A）P（B）P（C）+P(

.

A

)P(

.

B

)P(

.

C

)）=

2

9

，
所以ξ取最小值1时，P（ξ=1）=1-

2

9

=

7

9

．…（10分）
（3）【理科】欲使函数f(x)=log2[ξx2-(ξ-1)x+

1

4

]的值域是R，且ξ≠0，
只需ξ＞0且△=(ξ-1)2-4×ξ×

1

4

=ξ2-3ξ+1≥0即可．
解得ξ≤

3- 5

2

（舍）或ξ≥

3+ 5

2

，那么P(D)=P(ξ≥

3+ 5

2

)=P(ξ=3)=

2

9

，
所以事件D的概率为

2

9

．（也可以直接将ξ分别取1，3时代入△≥0即可）．…（14分）
【文科】由不等式x²-ξx+1＜0（x∈[1，2]），可得ξ＞x+

1

x

，
设g(x)=x+

1

x

，x∈[1，2]，g（x）在x∈[1，2]上单调递增，
由题意，只需ξ＞g（x）_max=g（2）=2.5即可．
所以P(D)=P(ξ＞2.5)=P(ξ=3)=

2

9

．…（14分）

点评：本题主要考查了离散型随机变量及其分布列和期望，以及相互独立事件的概率乘法公式和函数的值域等有关知识，同时考查了转化是思想和计算的能力，属于中档题．