Question

（本题满分14分）已知函数（，实数，为常数）．

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）若，讨论函数的单调性．

 

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）在处取得极小值.      

（Ⅱ）当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.…………………

【解析】解：（Ⅰ）函数，则，…………………1分

令，得（舍去），.   …………………………………………2分

当时，，函数单调递减；…………………………………………3分

当时，，函数单调递增；…………………………………………4分

∴在处取得极小值.       ……………………………………5分

（Ⅱ）由于，则，从而，则

  …………………………………………6分

令，得，.   ………………………………………7分

①  当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；8分

②  当，即时，列表如下：

所以，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；…………10分

当，即时，函数的单调递增区间为；……………11分

③  当，即时，列表如下：

所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；  ……………13分

综上：当，即时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为；

当，即时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.…………………………14分