Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中， AC⊥BC．

(1) 求证：平面AB₁C₁⊥平面AC₁；
(2) 若AB₁⊥A₁C，求线段AC与AA₁长度之比；
(3) 若D是棱CC₁的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁？若存在，试确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) 直三棱柱中，所以B₁C₁⊥CC₁; 因为AC⊥BC ，所以B₁C₁⊥A₁C₁，所以B₁C₁⊥平面AC₁ ．从而平面AB₁C₁⊥平面AC₁(2) 1：1；(3) 点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB₁C₁．

试题分析：（1）由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以B₁C₁⊥CC₁;
又因为AC⊥BC ，所以B₁C₁⊥A₁C₁，所以B₁C₁⊥平面AC₁ ．
由于B₁C₁平面AB₁C₁，从而平面AB₁C₁⊥平面AC₁ ．
（2）由（1）知，B₁C₁⊥A₁C ．所以，若AB₁⊥A₁C，则可
得：A₁C⊥平面AB₁C₁，从而A₁C⊥  AC₁ ．
由于ACC₁A₁是矩形，故AC与AA₁长度之比为1：1．
（3）点E位于AB的中点时，能使DE∥平面AB₁C₁．
证法一：设F是BB₁的中点，连结DF、EF、DE．
则易证：平面DEF//平面AB₁C₁，从而
DE∥平面AB₁C₁．
证法二：设G是AB₁的中点，连结EG，则易证EGDC₁.
所以DE// C₁G，DE∥平面AB₁C₁．
点评：题目中涉及到中点D，要得到的关系恰好是线面平行，因此考虑由中点构成的三角形中位线从而实现线面平行关系