Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象经过（-1，0），存在常数a，b，c使得不等式x≤y≤

1

2

(1+x2)对一切实数x都成立，求常数a，b，c的值．

Answer 1

∵f（x）的图象过点（-1，0），∴a-b+c=0①
∵x≤f（x）≤

x2+1

2

对一切x∈R均成立，
∴当x=1时也成立，即1≤a+b+c≤1．
故有a+b+c=1．②
由①②得b=

1

2

，c=

1

2

-a．
∴f（x）=ax²+

1

2

x+

1

2

-a．
故x≤ax²+

1

2

x+

1

2

-a≤

x2+1

2

对一切x∈R成立，
也即

ax2- 1 2 x+ 1 2 -a≥0 (1-2a)x2-x+2a≥0

恒成立?

△1≤0 △2≤0 a＞0 1-2a＞0

?

1 4 -4a( 1 2 -a)≤0 1-8a(1-2a)≤0 a＞0 1-2a＞0.

解得a=

1

4

．∴c=

1

2

-a=

1

4

．
∴常数a，b，c的值为：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

．