Question

已知椭圆C：

x2

m

+

y2

n

=1（0＜m＜n）的长轴长为2

2

，离心率为

2

2

，点M（-2，0），
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点（A在B的左边）若

MA

=λ

MB

，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用2a=2

2

，和离心率计算公式

c

a

=

2

2

，及b²=a²-c²即可得出．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：ty=x+2，联立

ty=x+2 2x2+y2=2

，利用△＞0，根与系数的关系及

MA

=λ

MB

，即可得出；
②y=0时，λ=

1

3

，也适合题意．

解答：解：（1）∵2a=2

2

，

c

a

=

2

2

，联立解得a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆的方程为x2+

y2

2

=1．
（2）①设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：ty=x+2，
联立

ty=x+2 2x2+y2=2

，化为（1+2t²）y²-8ty+6=0，
∵△＞0，解得t2＞

3

2

．
∴y1+y2=

8t

1+2t2

，y1y2=

6

1+2t2

∵

MA

=λ

MB

，∴y₁=λy₂．
联立解得，t2=

3(1+λ)2

32λ-6(1+λ)2

＞

3

2

．
化为

(1-λ)2

(3λ-1)(λ-3)

＜0，
解得

1

3

＜λ＜3，又λ＜1，∴

1

3

＜λ＜1．
②y=0时，λ=

1

3

，也适合题意．
综上可知：λ∈[

1

3

，1)．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为△满足的条件即根与系数的关系、向量的运算等是解题的关键．