Question

如图，将长AA′=3

3

，宽AA₁=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：
（1）求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；
（2）求三棱锥A₁-APQ的体积．

Answer 1

分析：（1）由题设知三棱柱ABC-A1B1C1  是正三棱柱，且侧棱AA₁=3，底面边长为

3

，BP=1，CQ=2，由此能求出平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值．
（2）连接A₁P，由△A₁AP的面积为

3 3

2

，知点Q到平面A₁AP的距离为

3

2

，利用VA1-APQ=VQ-A1AP，能求出三棱锥A₁-APQ的体积．

解答：解：（1）将长AA′=3

3

，宽AA₁=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，
∴三棱柱ABC-A1B1C1  是正三棱柱，且侧棱AA₁=3，
底面边长为

3

，BP=1，CQ=2，
延长QP交BC的延长线于点E，连接AE，
则AE⊥AC于A，QA⊥AE，
∴∠QAC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角的平面角，
∵AC=

3

，
∴tan∠QAC=

QC

AC

=

2

3

=

2 3

3

，
∴平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值为

2 3

3

．
（2）连接A₁P，
△A₁AP的面积为

3 3

2

，点Q到平面A₁AP的距离为

3

2

，
则VA1-APQ=VQ-A1AP=

1

2

×

3

2

×

3 3

2

=

3 3

4

．

点评：本题考查二面角的正切值的求法，考查棱锥的体积的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．