Question

如图所示，对于同一高度（足够高）的两个定滑轮A、B，用一条足够长的绳子跨过它们，并在两端分别挂有质量为m₁和m₂的物体（m₁≠m₂），另在两滑轮中间的一段绳子的O点处悬挂质量为m的另一物体，已知m₁：m₂=OB：OA，且系统保持平衡（滑轮半径、绳子质量均忽略不计）．求证：
（1）∠AOB为定值；
（2）＞2．

Answer 1

解：（1）设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为F₁、F₂，物体m向下的重力为F，由系统平衡条件知F₁+F₂+F=0．
如图，设∠BAO=α，∠ABO=β，根据平行四边形法则，得
F₂cosβ+F₁cos（π-α）=0，
F₂sinβ+F₁sin（π-α）+F=0．
即m₂cosβ-m₁cosα=0，①
m₂sinβ+m₁sinα=m．②
在△AOB中，由正弦定理，得OB：OA=sinα：sinβ，将m₁：m₂=sinα：sinβ代入①，得
sinβcosβ=sinαcosα，即sin2β=sin2α．
∵m₁≠m₂，∴OA≠OB．∴α≠β，2α+2β=180°．
∴α+β=90°，即∠AOB=90°．
（2）由α+β=90°，得 cosβcosα=sinβsinα．
将①②平方相加，得m²=m₁²+m₂²．
由m²-2m₁m₂=m₁²+m₂²-2m₁m₂=（m₁-m₂）²＞0，得m²＞2m₁m₂．
∴＞2．
分析：（1）设两绳子AO、BO对物体m的拉力分别为F₁、F₂，物体m向下的重力为F，由系统平衡条件知F₁+F₂+F=0．进而设∠BAO=α，∠ABO=β，根据平行四边形法则，得F₂cosβ+F₁cos（π-α）=0，整理得m₂cosβ-m₁cosα=0，m₂sinβ+m₁sinα=m．进而利用正弦定理求得OB：OA=sinα：sinβ代入m₂cosβ-m₁cosα=0化简整理求得sin2β=sin2α．推断出2α+2β=180°．进而可知α+β=90°，则∠AOB可求．
（2）根据α+β=90°推断出cosβcosα=sinβsinα．进而利用（1）中的m₂cosβ-m₁cosα=0，和m₂sinβ+m₁sinα=m．平方后相加，进而求得m²-2m₁m₂＞0，整理得＞2．原式得证．
点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．