Question

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难的学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费，每一年度申请总额不超过6000元．某大学2013届毕业生王昌在本科上学期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．工作后，王昌计划前12个月每个月还款500元，第13个月开始，每月还款比上一个月多x元．
（1）用x和n表示王昌第n个月的还款额a_n；
（2）当x=40时，王昌将在第几个月还清贷款？

Answer 1

分析：（1）依题意，王昌前12个月每个月的还款额为500元，第13个月开始，逐月的还款额构成一个首项为500+x，公差为x的等差数列，进而可用分段函数表示出王昌第n个月的还款额a_n；
（2）设王昌第n个月还清贷款，结合（1）中结论，构造关于n的不等式组，解不等式可得结论．

解答：解：（1）依题意，王昌前12个月每个月的还款额为500元，
则an=500(1≤n≤12，n∈N*)，…（2分）
第13个月开始，逐月的还款额构成一个首项为500+x，公差为x的等差数列，
则a_n=500+x+（n-13）x=500+（n-12）x，（13≤n≤36，n∈N^*）．
所以

an= 500，(1≤n≤12，n∈N*) 500+(n-12)x，(13≤n≤36，n∈N*)

．…（6分）
（2）设王昌第n个月还清贷款，
∵12×500＜24000，
∴n≥13，…（7分）
则应有12×500+(500+40)×(n-12)+

(n-12)(n-12-1)

2

×40≥24000，…（10分）
整理得n²+2n-1068≥0，…（11分）
解之得n≥-1+

1069

，或n≤-1-

1069

（舍去）
由于31＜-1+

1069

＜32，所以n=32≤36．
即王昌将在第32个月还清贷款．…（13分）

点评：本题考查的知识点是数列的函数特征，是数列，函数，不等式的综合应用，难度在大，但运算量不小，属于中档题．