Question

17．已知A、B是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点，且OA⊥OB，求两点的横坐标之积和纵坐标之积．

Answer 1

分析 先设出A，B，中点P的坐标，分别表示出AO，OB的斜率，利用二者垂直判断出二者斜率乘积为-1求得x₁x₂+y₁y₂=0把抛物线的方程代入即可求得x₁x₂和y₁y₂．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点P（x₀，y₀），k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，k_OB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$•$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$+y₁y₂=0
∴y₁y₂=-4p²，x₁x₂=4p²．

点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是灵活利用韦达定理．