Question

如图1，△ABC是边长为6的等边三角形，，点G为BC边的中点，线段AG交线段ED于点F．将△AED沿ED翻折，使平面AED丄平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图2的几何体．
（I）求证：BC丄平面AFG
（II）求二面角B-AE-D的大小．

Answer 1

解：（I）图1中，∵，
∴DE∥BC，且DE=BC=4．得△ADE是边长等于4的等边三角形，
∵G是BC的中点，得AG是等边△ABC的中线
∴AG⊥BC，结合DE∥BC，得AG⊥DE
图2中，∵AF⊥DE，FG⊥DE，AF、FG是平面AFG内的相交直线
∴DE⊥平面AFG
∵DE∥BC，
∴BC丄平面AFG
（II）分别以FG、FD、FA所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，
可得A（0，0，2），B（，-3，0），E（0，-2，0）
∴=（，-3，-2），=（-，1，0）
设平面ABE的一个法向量为=（x，y，z）
可得，取x=1，得y=，z=-1
∴平面ABE的一个法向量为=（1，，-1）
又∵=（1，0，0）是平面ADE的一个法向量
∴cos＜，＞==
结合图形，可得二面角B-AE-D是一个钝二面角
∴二面角B-AE-D的大小是π-arcsos
分析：（I）根据平面几何平行线的判定，可得DE∥BC，得△ADE是边长等于4的等边三角形．线段AG是等边△ABC的高，翻折后得到折线AF和FG，可得AF⊥DE且FG⊥DE，从而DE⊥平面AFG，结合DE∥BC，可得BC丄平面AFG；
（II）分别以FG、FD、FA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，得出A、B、E各点的坐标，从而得到向量、的坐标．利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出平面ABE的一个法向量为=（（1，，-1），而平面ADE的一个法向量=（1，0，0），算出、夹角的余弦，再结合图形特征即可得到二面角B-AE-D的大小．
点评：本题以等边三角形翻折的问题为例，求证线面垂直并求二面角的大小，着重考查了线面垂直的判定、面面垂直的性质和利用空间向量计算二面角的大小等知识，属于中档题．