【题目】已知函数,为其导函数,且时有极小值-9.
(1)求的单调递减区间;
(2)若,,当时,对于任意,和的值至少有一个是正数,求实数的取值范围;
(3)若不等式(为正整数)对任意正实数恒成立,求的最大值.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)先求函数的解析式,再运用导数求解;
(2)借助题设条件分类分析推证求解;
(3)借助题设构造函数,运用分析推证的方法求解.
试题解析:
(1)由,因为函数在时有极小值-9,
所以,从而得,,
所求的,所以,
由解得,所以的单调递减区间为(-1,3).
(2)由,故,
当时,若,则,满足条件;
若,则,满足条件;
若,.
①如果对称轴,即时,的开口向上,
故在上单调递减,又,所以当时,.
②如果对称轴,即时,,
解得,故时,;
所以的取值范围为;
(3)因为,所以等价于
,即,
记,则,
由,得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
对任意正实数恒成立,等价于,即,
记,则,
所以在上单调递减,又,,
所以的最大值为6.
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【题目】中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛.种子选手与,,三位非种子选手分别进行一场对抗赛,按以往多次比赛的统计,获胜的概率分别为,,,且各场比赛互不影响.
(1)若至少获胜两场的概率大于,则入选征战里约奥运会的最终大名单,否则不予入选,问是否会入选最终的大名单?
(2)求获胜场数的分布列和数学期望.
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【题目】对于数25,规定第1次操作为23+53=133,第2次操作为13+33+33=55,如此反复操作,则第2 017次操作后得到的数是( )
A. 25 B. 250
C. 55 D. 133
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【题目】已知,当点在的图象上运动时,点在函数的图象上运动().
(Ⅰ)求和的表达式;
(Ⅱ)已知关于的方程有实根,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设,函数的值域为,求实数的值.
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【题目】将编号为1,2,3,4,5的五个球放入编号为1,2,3,4,5的五个盒子里,每个盒子内放一个球,若恰好有三个球的编号与盒子编号相同,则不同投放方法的种数为( )
A.6 B.10
C.20 D.30
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