Question

已知{a_n}满足a_n=2n-1（n∈N^*）试判断是否存在正数k，使得（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：由a_n=2n-1求出a₁，结合1+

1

a1

=k

2×1+1

求出一个k值，由此猜测存在最大正数k=

2 3

3

，使得（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）≥

2 3

3

•

2n+1

对一切n∈N^*均成立，然后利用数学归纳法证明．

解答： 解：由a_n=2n-1，得a₁=1，此时1+

1

a1

=2，

2n+1

=

3

，
由

3

k=2，解得k=

2 3

3

，由此猜测存在最大正数k=

2 3

3

，使得（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）≥

2 3

3

•

2n+1

对一切n∈N^*均成立．
下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，左边=1+1=2，右边=

2 3

3

×

3

=2，命题成立；
（2）假设当n=k（n∈N^*）时结论成立，即：（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

ak

）≥

2 3

3

2k+1

，
则当n=k+1时，
左边=（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

ak

）（1+

1

ak+1

）≥

2 3

3

2k+1

•（1+

1

2k+1

），
而

2 3

3

2k+1

•（1+

1

2k+1

）=

2 3

3

•

2k+1

•

2(k+1)

2k+1

=

2 3

3

•

2(k+1)

2k+1

，
∵2k+2＞

2k+1

•

2k+3

，
∴

2 3

3

•

2(k+1)

2k+1

＞

2 3

3

•

2k+3

=

2 3

3

2(k+1)+1

，即当n=k+1时结论成立．
由（1）、（2）可得：命题对于一切n∈N^*恒成立．

点评：本题考查数列中不等式的证明问题，考查学生利用数学归纳法证明不等式的思想和方法，要注意该方法在证明不等式中的格式，利用归纳假设证明n=k+1时要注意目标意识，适当进行放缩转化，是中高档题．