Question

1．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{y≤x}\\{y≤2-x}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（b＞a＞0）的最大值为9，则$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义确定取得最大值的条件，然后利用基本不等式进行求$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，
∵b＞a＞0，∴直线的斜率k=-$\frac{a}{b}$∈（-1，0），
作出不等式对应的平面区域如图：
平移直线得$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$，由图象可知当直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$经过点A时，直线$y=-\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}$的截距最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=2-x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），
此时目标函数z=ax+by的最大值为9，
即a+b=9，∴$\frac{1}{9}$（a+b）=1，
$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$=（$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$）×1=（$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$）×$\frac{1}{9}$（a+b）=$\frac{2}{9}$+$\frac{8}{9}$+$\frac{2b}{9a}$+$\frac{8a}{9b}$
≥$\frac{10}{9}$+2$\sqrt{\frac{2b}{9a}•\frac{8a}{9b}}$=$\frac{10}{9}$+2×$\frac{4}{9}$=$\frac{18}{9}$=2，
当且仅当$\frac{2b}{9a}$=$\frac{8a}{9b}$，即b=2a，即b=6，a=3时取等号．
即$\frac{2}{a}$+$\frac{8}{b}$的最小值为2，
故选：B

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，以及基本不等式的应用，利用数形结合求出目标函数取得最大值的条件是解决本题的关键．