Question

17．四面体A-BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，则CQ与平面DBC所成的角的正弦值（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 作DE⊥BC，交BC于E，作AO⊥平在BDC，交DE于O，作QP⊥平面BDC，交DE于P，连结QC，CP，则∠PCQ是CQ与平面DBC所成角，由此能求出CQ与平面DBC所成角的正弦值．

解答 解：作DE⊥BC，交BC于E，作AO⊥平面BDC，交DE于O，
作PQ⊥平面BDC，交DE于P，连结QC，CP，
则∠PCQ是CQ与平面DBC所成角，
设正四面体ABCD的棱长为2，
则DE=QC=DE=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
DO=$\frac{2}{3}$DE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，DP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
AO=$\sqrt{4-\frac{4}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，PQ=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴sin∠PCQ=$\frac{PQ}{QC}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴CQ与平面DBC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．