Question

一个四棱锥S－ABCD的底面是边长为a的正方形，侧面展开图如图(1)所示．

(1)请画出四棱锥S－ABCD的示意图，问是否存在一条

侧棱与底面垂直？若存在，请给出证明；

(2)若SC为四棱锥中最长的侧棱，点E为AB的中点．

①求二面角E－SC－D的大小；

②求点D到平面SEC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(1) 　　解：四棱锥S－ABCD的示意图如图(2)， 　　其中SA⊥平面ABCD， 　　证明：由侧面展开图可知：SA＝a， 　　，∴SA⊥平面ABCD． 　　(2)解：在侧面展开图中最长的侧棱为，即 　　①过E点作EF⊥SC于点F，取SD的中点G连结GF，AG， 　　，∴，又∵，，∴，∵平面SAD，∴ 　　∴AG⊥平面SCD，∴EF⊥平面SCD，平面SCE⊥平面SCD， 　　∴二面角E－SC－D的大小为． 　　②由①，易得点D到平面SEC的距离为．

提示：

分析：本题主要考查空间线面位置关系，二面角、空间距离的计算等基本知识，以及逻辑推理能力和空间想象能力． 　　说明：平面图形与空间几何体的相互转化，有利于考查学生的空间想象能力，空间线面位置关系的判定，空间角和距离的计算是高考的重点和热点问题，本题的第(2)主要考查以证代算的解题方法．空间距离的计算常依赖于线面的垂直或等体积法作转化，这是高考的常考题型．