Question

圆台的侧面积是它在内切球表面积的倍，则圆台母线和底面所成角的大小是

[　　]

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

Answer 1

答案：C
解析：

首先画出圆台及其内切球的轴截面，如图． 　　设圆台上、下底面圆的半径分别为r、R(R＞r)，内切球的半径为x． 　　则依题意及几何关系可得AF＝AE＝r，DE＝DG＝R， 　　AD＝AE＋ED＝r＋R， 　　圆锥的母线l＝R＋r． 　　在△BHC中，由勾股定理得BH2＋HC2＝BC2， 　　即(R＋r)2＝(R－r)2＋(2x)2． 　　又由圆台的侧面积是它的内切球表面积的倍， 　　即π(R＋r)l＝·4πx2． 　　于是R＋r＝x，x2＝Rr． 　　∴(R－r)2＝(R＋r)2－4Rr＝(R＋r)2－4()2(R＋r)2＝(R＋r)2． 　　∴． 　　∴cos∠BCH＝ 　　∴∠BCH＝60° 　　即圆台母线和底面所成角为60°．