Question

在△ABC中，若

a2

b2

=

a2+c2-b2

b2+c2-a2

，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形

B．直角三角形

C．等腰直角三角形

D．等腰三角形或直角三角形

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosB及cosA，变形后代入已知等式的右边，整理后利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简得到sin2A=sin2B，由A和B都为三角形的内角，可得2A与2B相等或2A与2B互补，进而得到A等于B或A与B互余，可得出三角形为等腰三角形或直角三角形．

解答：解：∵cosB=

a2+c2-b2

2ac

，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，
∴a²+c²-b²=2ac•cosB，b²+c²-a²=2bc•cosA，
∴

a2+c2-b2

b2+c2-a2

=

2ac•cosB

2bc•cosA

=

acosB

bcosA

=

a2

b2

，又

a

b

=

sinA

sinB

，
∴

cosB

cosA

=

a

b

=

sinA

sinB

，即sinAcosA=sinBcosB，
∴sin2A=sin2B，又A和B都为三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选D

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，以及正弦函数的图象与性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．